Lógica de primer orden
La lógica de primer orden, también llamada lógica de predicados o cálculo de predicados, es un sistema formal diseñado para estudiar la inferencia en los lenguajes de primer orden. Los lenguajes de primer orden son, a su vez, lenguajes formales con cuantificadores que alcanzan sólo a variables de individuo, y con predicados y funciones cuyos argumentos son sólo constantes o variables de individuo.

CUANTIFICADORES

Considérese ahora la siguiente expresión matemática:

x > 3

Esta expresión no es ni verdadera ni falsa, y parece que no lo será hasta que no reemplacemos a la x por algún número cualquiera. Sin embargo, también es posible dar un valor de verdad a la expresión si se le antepone un cuantificador. Un cuantificador es una expresión que afirma que una condición se cumple para un cierto número de individuos.⁵ En la lógica clásica, los dos cuantificadores más estudiados son el cuantificador universal y el cuantificador existencial.  El primero afirma que una condición se cumple para todos los individuos de los que se está hablando,⁵ y el segundo que se cumple para al menos uno de los individuos.⁵ Por ejemplo, la expresión "para todo x" es un cuantificador universal, que antepuesto a "x < 3", produce:

Para todo x, x < 3

Esta es una expresión con valor de verdad, en particular, una expresión falsa, pues existen muchos números (muchos x) que son mayores que tres. Anteponiendo en cambio la expresión "para al menos un x", un cuantificador existencial, se obtiene:

Para al menos un x, x < 3

La cual resulta ser una expresión verdadera.

Adviértase ahora, sin embargo, que el valor de verdad de las dos expresiones anteriores depende de qué números se esté hablando. Si cuando se afirma "para todo x, x < 3", se está hablando sólo de los números negativos, por ejemplo, entonces la afirmación es verdadera. Y si al afirmar "para al menos un x, x < 3" se está hablando solamente de los números 3, 4 y 5, entonces la afirmación es falsa. En lógica, a aquello de lo que se está hablando cuando se usa algún cuantificador, se lo llama el dominio de discurso.

Esta maquinaria puede adaptarse fácilmente para formalizar oraciones con cuantificadores del lenguaje natural. Tómese por caso la afirmación "todos son amigables". Esta oración puede traducirse así:

Para todo x, x es amigable.

Y una oración como "alguien está mintiendo" puede traducirse:

Para al menos un x, x está mintiendo.

También es frecuente traducir esta última oración así:

Existe al menos un x, tal que x está mintiendo.

A continuación se formalizan ambas oraciones, introduciendo a la vez la notación especial para los cuantificadores:

Para todo x, x es amigable.	∀x A(x)
Existe al menos un x, tal que x está mintiendo.	∃x M(x)